投稿者: 沖加奈美

突然ですが問題です。「1134951は素数ですか？」

 

 

いかがでしょうか。すぐに素数ではないと断言することはできましたか？

（1134951は3の倍数なので素数ではありません。）

どうすればこの一見素数のように見える数字を素数でないと断言できるのでしょうか？

実は便利な「倍数判定法」というものがいくつかあります。

2の倍数かどうかは「一の位の数が偶数かどうか」ということで判断できます。これは日常的に身に着けているかもしれませんね。

それでは3以上の倍数判定法をいくつか紹介します。

3の倍数：各桁の数の和が3の倍数

4の倍数：下2桁が4の倍数

5の倍数：一の位が０か５

6の倍数：２の倍数かつ３の倍数

などなどです。７以上に関してもあるので気になる人は調べてみてください。

さて、本当に以上の判定法は正しいのか……特に３の倍数の判定法は納得し辛いのではないでしょうか。

では、３の倍数判定法について証明していきましょう。

証明

３桁の数（Aと呼びましょう）について調べます。

a,b,cを０以上９以下の整数とします。

この時a,b,cを用いてAは

A=100a+10b+c　とあらわすことができます。

これを少し変形していきます。

A＝100a+10b+c
=(99+1)a+(9+1)b+c
=(99a+9b)+(a+b+c)
=3(33a+3b)+a+b+c

このように変形できました。3(33a+3b)の部分は33a+3bが整数であり、３の倍数なので当然３の倍数です。よって、Aが３の倍数であるかどうかはa+b+c（各桁の和）が３の倍数かどうか次第ということになります。たとえAが４桁以上になった場合も同じように証明が可能です。

整数問題を扱う際にもすごい威力を発揮する倍数判定法。ぜひとも身に着けてください。

ある時突然、「１３は素数ですか？」と質問されたとします。きっと皆さんはすぐに「素数です」と答えることができるでしょう。

それは１３が素数であるということを元から知っていたからかもしれませんし、13以下の素数「２，３，５，７，１１」で１３が割り切れないと瞬時に考えたからかもしれません。

では、コンピュータに「１３は素数？」と質問してみたときのコンピュータの考え方を紹介します。

コンピュータは素数の定義のみを知っているとします。（２や３が素数ということは教えていません）

私達なら13以下の素数のみ割り算を行えば良いとわかりますが、そもそもコンピュータは13以下の素数が何なのか分かっていないのでそれは不可能です。

では、どういう動きになるのでしょうか？

それは、１から順に１２まで割って行こうとします。

つまり……「13/1…13/2…13/3………13/12」というふうになります。

非効率的だと感じませんか？

ではここで２つアドバイスを上げましょう。もちろん「１３以下の素数で割る」というのは不可能です。

与えるアドバイスは「１３の平方根以下の自然数で順に割っていく」「２以上の自然数のみ考える。」の２つです。

少し複雑でしょうか？

具体的に考えてみましょう。１３の平方根は3.6…..ですので、「13の平方根以下の自然数」とは「１，２，３」となります。

さらに、「2以上の自然数のみ」ということになるので、2つのアドバイスにあった数は「２，３」のみになります。

つまり、2つのアドバイスを与えることでコンピュータは「13/2…13/3」を計算するだけで素数判定を行うことができるようになるのです。

たった2つ変えただけなのにかなりの手間が省けましたね。

なぜ13以下の平方根以下の自然数でいいのか？という疑問が浮かんだ人はいませんか？

それは平方数をこすと同じ数が出てくるからです。具体例をあげます（素数では難しいので１８を用います）

１８（平方根は大体4.2です）を二つの数の積で表していくと……「1×18,2×9,3×6」となります。4以上の数を考えると、既に出たものの順番を入れ替えただけになります。だから平方根以下の自然数のみ考えればよいのです。

実は、今回考えた手順の簡略化（計算の効率化）というのが「アルゴリズム研究」の基本的なものです。

アルゴリズムとは大雑把に言ってしまえばコンピュータを動かすための命令文のようなものです。これをいかに簡単にするか、というのがアルゴリズム研究です。

ちょっと方法を変えるだけでかなり効率的に素数を判定する事ができるようになりましたね。素数判定以外にも「最短経路問題」など身近なところに効率化を求めるようなものが有ります。気がついたときに少しだけ考えてみてはいかがでしょうか。数学の知恵が日常生活に役に立ってることを感じることができるのではないでしょうか。

学校の最寄り駅まで３００円……そこから歩いて１０分……帰りは買い物でいくら使う……２１時までには帰りたい。明日は用事があるから６時には起きよう。

日常の中で数というのは無意識のうちにそばにあります。普段何気なく使っている数でも隠れた魅力があるものです。

例えば「６」。６は完全数でありながら、高度合成数でもあります。

完全数？高度合成数？と思った人もいると思います。なにやらかっこいい名前ですが難しいことはありません。

 

完全数とは「それ自身を除く約数の和がその数自身と等しい自然数」のことです。

６で考えてみます。６の約数は「１，２，３，６」自身を除くので１，２，３の和を求めます。

１＋２＋３＝６

見事に６の約数(それ自身は除いてますが)の和は６になりましたね。

完全数は他に２８や４９６などがあります。

 

次に高度合成数とは「それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多い自然数」のことを指します。

また６について考えてみます。６未満の数のそれぞれの約数１は１つ、素数である２，３，５は当然２つ、４は３つ(１と２と４)です。そして６の約数は１，２，３，６の４個です。

６未満の５個の数のどの約数の数よりも大きいですね。

高度完全数は他に１，２，４，６，１２，２４，３６などがあります。約数の個数の求め方をすでに習っている人は探してみても面白いかもしれませんね。

 

今回は「完全数」「高度合成数」を紹介しましたが他にも「カプレカ数」や「調和数」，「タクシー数」などなど素敵な数がたくさんあります。

 

「フィボナッチ数列」「黄金比」という言葉を耳にしたことはありますか？

まず、フィボナッチ数列とは前の二つの数字の和を並べた数列(１，１，２，３，５，８……)のことです。フィボナッチという名前はイタリアの数学者レオナルド・フィボナッチにちなんでつけられたものです。

次に、黄金比について説明します。黄金比とは近似値1:1.618(約5:8)の比のことで、最も美しい比だといわれています。

黄金比の特徴は「黄金比の長方形について。短い方の辺を基準として正方形を作り二つに分けた時、長方形の図形の辺の比がまた黄金比になる」ということです。とても不思議な比です。

さて「フィボナッチ数列」と「黄金比」一見なんの関係性もなさそうに見えます。

しかし、フィボナッチ数列の連続する項の比率を計算する(二つの数を選び、小さい方の数で大きい方の数を割る）と面白いことが起こります。

フィボナッチ数列(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……)

1/1=1

2/1=2

3/2=1.5

5/3=1.6666……

8/5=1.6

13/8=1.625

21/13=1.61538……

そろそろわかってきましたか？フィボナッチ数列の連続する項の比率は黄金比に近づきます。

一見関係なさそうに見えるものがこんなところで繋がっているところに意外性と面白さを感じませんか？

もう既に数列を習っているという人はフィボナッチ数列の一般式を求めてみるのもいいかもしれません。

私は素数が大好きです。

皆さんにも興味を持ってもらいたいと思ったので、今日は素数について紹介します。

素数とは「１とその数自身以外には約数がない正の整数。ただし1は除く」と定義されています。

例を挙げると「２，３，５，７，１１……」などです。１００までの数には２５個の素数が含まれますが、１０００までになると１６８個、１００００までだと１２２９個と素数を見つけるのが難しくなっていきます。

さてここで「最大の素数は存在するのか？」という疑問がわいてきます。今回はこの疑問を解消していきます。

【証明】

最大の素数が存在する。つまり素数は有限である。と仮定します。最大の素数をNと置きます。

最小の素数（２）から最大の素数までの全ての素数の積をMとします。（M>Nとなりますね）

ここでMに１を加えます。

するとM+1は素数（どんな素数で割っても必ず1余るので割り切れません）です。

これはNが最大の素数であることと矛盾します。

ゆえに素数は有限でない。つまり素数は無限にあるということが示されました。

 

高校の授業では習わない雑学のようなものですが数学に興味を持っていただけたら幸いです。

 

 

今日が終業式で、いよいよ夏休みという人も多いのではないでしょうか。受験生にとっては勝負の夏の始まりですね。

夏は時間に余裕があり、自分のやりたい勉強ができますが、だからといって全部やろうとすると時間が足りません。今までは色々な科目を平均的に勉強することも大切でしたが、受験を半年後に控えた受験生にとっては受験科目を極めるつもりで絞った勉強をすることが重要になってきます。

たとえば、「自分はこの夏は地理をマスターするんだ」など具体的な目標をひとつ決めてみましょう。

昨日ようやく定期考査が終わり、今日から通常授業に戻るはずでしたが、昨日の台風騒動で一日延期されたそうです。

さらに今日も記録的な大雨。しかしオンラインの授業なら雨に濡れる心配もなくて快適な授業ができます。

一方、テスト疲れか別の理由か授業中でもかなりの頻度で睡魔に襲われている様子……。それでも眠気を吹き飛ばせるようにテンポよく授業をすすめたので、計画通りの進度が保てました。雨にも睡魔にも屈さない九大パルです。