2次方程式の解き方の裏技（？）

周船寺校ブログ

2025/01/22

みなさんこんにちは周船寺校の木下です。いよいよ１月も終わりに近づいて受験本番が近くなってきましたね！　受験当日まであきらめず、粘り強く努力を続けましょう！

今回は２次方程式についてです。

主に中学生の方に向けた内容をお伝えしますが高校生の方にも
ためになる内容だと思うのでぜひ見てくださいね！

それでは例題として次のような問いを考えてみましょう

xについての２次方程式
x²-18x+79=0を解け

まずは皆さん自身で解いてみてください！

解答のまえにまずは２次方程式の解き方をおさらいしましょう。

２次方程式には大きく分けて２種類のパターンがあります。おそらく学校でも次のような問題を解いてきたはずです。

①因数分解が可能な場合　例　x²-3x+2=0　これは（x-1)(x-2)=0となるのでx=1,2

②因数分解ができず解の公式を使う場合　例　x²-2x-7=0　因数分解はできないので解の公式を使うと
x=1±2√2　（計算は各自でやってみてください）

この方針で今回の例題を解くとどうなるでしょうか。やってみましょう。
まず、x²-18x+79は因数分解ができません。よって方針②である解の公式を使うことになります。
しかし解の公式を使おうとすると、とても計算が面倒になりそうです。具体的には18²や-4×1×79を計算することになり、また、計算する数が大きいため計算ミスをしてしまいそうです。ほとんどの中学生の皆さんは解の公式を使って例題を解いたのではないかと思います。計算に苦労したのではないでしょうか？解の公式はどんな２次方程式の問題にも使えるので便利な一方、このような問題では計算が非常に煩雑になるという側面もあります。

もっと計算が楽になる方法はないのでしょうか？じつはあるんです！それが今回のテーマでもある裏技なのです！この裏技はおそらく高校生になったら習う内容なのですが、中学生のうちからできるようになっておくと今後が楽なのでぜひ習得してほしいです！

それでは裏技の紹介です！

裏技での解答 x²-18x+79=0
x²-18x+81-81+79=0　
　　　　　　 (x-9)²-81+79=0
(x-9)²-2=0
(x-9)² =2
x-9=±√2　よってx=9±√2

いかがでしょうか？裏技を使うと計算量が少なくまた面倒な計算もありませんね！
さて、これはどういうことが起きていたのでしょうか？

ポイントは「無理やり2乗の形をつくる」です。
もしも次のような問題であればみなさんは簡単に答えを求めることができるはずです。
(x-9)² =2　これは簡単ですよね。このように（x－■)^２=▲の形になれば皆さんは簡単に答えがわかります。ということはなんとか無理やり（x－■)^２=▲の形にできないか？と考えてみるのです！

さてそれではどうやったら x²-18x+79=0が（x－■)^２=▲の形になるんでしょうか？

まず（x－■)^２について考えてみましょう。
（x－■)^２＝x²-2x×■+■²　でしたね。もしx²-18x+79が（x－■)^２=▲になるとしたら■に当てはまる数はなんでしょうか？答えは９です。なぜなら-2x×■＝-18xのはずだからです。
■＝９として考えてみると（x－■)^２＝ (x-9)²＝ x²-18x+81　こうすれば「無理やり」（x－■)^２の形を作ることができます。しかし、(x-9)²＝ x²-18x+81をよーく見てみると本来最初の式であるx²-18x+79=0にはなかった+81が勝手に追加されてしまっています。つまり、(x-9)²＋79＝ x²-18x+81+79になってしまい最初の式である x²-18x+79にはならないのです。それではだめですが、余分に出てきてしまった+81がなくなれば無事最初の式である x²-18x+79になるので81を引いて(x-9)²-81＋79とすれば
(x-9)²-81＋79 = x²-18x+81-81+79
(x-9)²-2= x²-18x+79となり元の式を（x－■)^２を含む形にすることができます！
裏技解答の x²-18x+81-81+79=0は（x－■)^２を含む形にするための工夫なのです！

このように「無理やり」（x－■)^２の形を作って余分なものを調整するという風にすればうまくいくことがわかりました。
このような操作を「平方完成（へいほうかんせい）」といいます。
この方法は実は解の公式の導出にも使われています。ぜひ教科書を確認してみてください！
（解の公式の導出は計算に文字式が含まれるため少し面倒です）

今回は少々難しい内容でしたがこのやり方を習得すれば計算ミスも減り、さらに計算も早くなると思います。教科書やワークの問題でぜひ練習してみてください！

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